Tangens vsote in razlike

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Kotni funkciji tangens in kotangens sta močno povezani s funkcijama sinus in kosinus. Oglej si prikaz vrednosti kotnih funkcij v enotski krožnici za označeni kot $\varphi$ malce drugače, kot je običajno.

Na zgornji dinamični sliki je več pravokotnih trikotnikov, ki so med seboj podobni. S primerjavo razmerij med njihovimi stranicami lahko potrdimo zveze med kotnimi funkcijami, ki jih že poznamo.

Modra daljica ima dolžino $\tan (\varphi)$, kar premislimo ob osenčenem trikotniku $ABT$.

Trikotnika $ADT$ in $ATB$ sta podobna, zato se ujemata v razmerju istoležečih stranic (krajša kateta proti daljši kateti).

$|AD|:|DT|=|AT|:|TB|$

$\cos (\varphi):\sin (\varphi)= 1: \tan (\varphi)$

$\Rightarrow \qquad \tan (\varphi)=\frac{\sin (\varphi)}{\cos (\varphi)}$

Rdeča daljica ima dolžino $\cot (\varphi)$, kar premislimo ob osenčenem trikotniku $ATC$, ki ima pri oglišču $C$ kot enak $\varphi$.

Trikotnika $CTA$ in $ADT$ sta podobna, zato se ujemata v razmerju istoležečih stranic (krajša kateta proti daljši kateti).

$|CT|:|TA|=|AD|:|DT|$

$\cot (\varphi):1= \cos (\varphi): \sin (\varphi)$

$\Rightarrow \qquad \cot (\varphi)=\frac{\cos (\varphi)}{\sin (\varphi)}$

Trikotnika $CTA$ in $ATB$ sta podobna, zato se ujemata v razmerju istoležečih stranic (krajša kateta proti daljši kateti).

$|CT|:|TA|=|AT|:|TB|$

$\cot (\varphi):1= 1: \tan (\varphi) \quad \Rightarrow \quad \tan (\varphi)\cdot \cot (\varphi)=1$

Enako bi dobili tudi ob upoštevanju višinskega izreka za trikotnik $ABC$.

Vrednosti tangensa izbranega kota običajno prikažemo kot odsek na navpičnici skozi točko $(1,0)$, vrednost kotangensa pa kot odsek na vodoravni premici skozi točko $(0,1)$.

Z računom pokaži, da modri odsek prikazuje tangens, rdeči pa kotangens označenega kota.

Zapišimo in izpeljimo adicijska izreka za tangens vsote in razlike kotov.

Zgled

a) Izračunajmo $ \tan 105°$.

$ \tan 105°=\tan(60°+45°)=\frac{\tan 60°+\tan 45°}{1-\tan 60°\cdot \tan 45°}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$

Če ta rezultat racionaliziramo in poenostavimo, dobimo $\tan 105°=-2-\sqrt{3}$.

Drži. Ne drži.

b) Izračunajmo še $\cot 15°$. Formulo za kotangens vsote ali razlike si lahko izpelješ samostojno, mi pa bomo uporabili kar tisto za tangens.
$\cot 15°=\cot (60°-45°)=\frac{1}{\tan (60°-45°)}=(\tan (60°-45°))^{-1}$

$\cot 15°=\cot (60°-45°)=(\tan (60°-45°))^{-1}=$

$\displaystyle =(\frac{\tan 60°-\tan 45°}{1+\tan 60°\cdot \tan 45°})^{-1}=(\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}})^{-1}=$

$\displaystyle =\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$

Tangens vsote in razlike

Na zgornji dinamični sliki je več pravokotnih trikotnikov, ki so med seboj podobni. S primerjavo razmerij med njihovimi stranicami lahko potrdimo zveze med kotnimi funkcijami, ki jih že poznamo.

Zgled

b) Izračunajmo še $\cot 15°$. Formulo za kotangens vsote ali razlike si lahko izpelješ samostojno, mi pa bomo uporabili kar tisto za tangens. $\cot 15°=\cot (60°-45°)=\frac{1}{\tan (60°-45°)}=(\tan (60°-45°))^{-1}$

b) Izračunajmo še $\cot 15°$. Formulo za kotangens vsote ali razlike si lahko izpelješ samostojno, mi pa bomo uporabili kar tisto za tangens.
$\cot 15°=\cot (60°-45°)=\frac{1}{\tan (60°-45°)}=(\tan (60°-45°))^{-1}$