Definicija krožnice

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Definicija krožnice

Oglej si aktivno sliko spodaj. Ali bi znal zapisati geometrijsko definicijo krožnice?

Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke. Izbrana točka je središče krožnice $S$, oddaljenost od središča je polmer krožnice $r$.

Središče krožnice postavimo v izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema. Točko, v kateri se polmer dotika krožnice, označimo s $T(x,y)$. Na aktivni sliki zgoraj si oglej, kako pridemo do enačbe krožnice (analitična definicija).

Krožnica s središčem v izhodišču $S(0,0)$ in polmerom $r$ je množica točk $(x,y)$ v ravnini, za katere velja:

$ x^2+y^2=r^2$

Pravokotni projekciji točke $T(x,y)$ na abscisno in ordinatno os sta kateti pravokotnega trikotnika s hipotenuzo $r$. Za pravokotni trikotnik velja Pitagorov izrek: $$x^2+y^2=r^2$$ Če točka $T$ ne bi ležala v prvem kvadrantu, bi bili kateti pravokotnega trikotnika dolgi $|x|$ in $|y|$, a bi kljub temu zaradi kvadriranja dobili enako enačbo.

Zgled

Dana je krožnica z enačbo $x^2+y^2=8$.
a) Dano krožnico nariši.
b) Ali točka $A(-\sqrt 2, \sqrt 6)$ leži na dani krožnici?
c) Izračunaj neznano koordinato točke $B(2,y<0)$, tako da bo ležala na dani krožnici.

a) Krožnica ima središče v točki $S(0,0)$ in polmer $r=2\sqrt 2$.

b) Točka $A$ leži na krožnici, saj njene koordinate zadoščajo enačbi $(-\sqrt 2 )^2+(\sqrt 6)^2=8$.

c) Koordinati točke $B$ vstavimo v enačbo krožnice:

$2^2+y^2=8$
$y^2=4$
$y=\pm 2$

Dobimo dve točki $B_1$ in $B_2$, ki ležita na krožnici in imata absciso enako $2$. Pogojem naloge ustreza samo točka $B_2$, ker ima negativno ordinato.

Zgled

Zapiši enačbo krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču, ki se dotika premice z enačbo $ 2x-y-5=0$.

Polmer krožnice $r$ je enak razdalji točke $S(0,0)$ do premice $ 2x-y-5=0$.

$r=\frac{|2\cdot 0-0-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}$

Enačba krožnice: $x^2+y^2=5$

Zapišemo enačbo premice, ki je pravokotna na dano premico $2x-y-5=0$ in gre skozi točko $S(0,0)$: $x+2y=0$.

Izračunamo presečišče $P(2,-1)$ premic $2x-y-5=0$ in $x+2y=0$.

Polmer krožnice je enak razdalji med točkama $S(0,0)$ in $P(2,-1)$: $r=\sqrt 5$.

Enačba krožnice: $x^2+y^2=5$

Definicija krožnice

Oglej si aktivno sliko spodaj. Ali bi znal zapisati geometrijsko definicijo krožnice?

Središče krožnice postavimo v izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema. Točko, v kateri se polmer dotika krožnice, označimo s $T(x,y)$. Na aktivni sliki zgoraj si oglej, kako pridemo do enačbe krožnice (analitična definicija).

Geometrijska definicija

Analitična definicija

Zgled

Enačba krožnice s središčem $S(0,0)$ in polmerom $3$ je:

Zgled

Dana je krožnica z enačbo $x^2+y^2=8$.
a) Dano krožnico nariši.
b) Ali točka $A(-\sqrt 2, \sqrt 6)$ leži na dani krožnici?
c) Izračunaj neznano koordinato točke $B(2,y<0)$, tako da bo ležala na dani krožnici.

Zgled

Zapiši enačbo krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču, ki se dotika premice z enačbo $ 2x-y-5=0$.

Definicija krožnice

Oglej si aktivno sliko spodaj. Ali bi znal zapisati geometrijsko definicijo krožnice?

Središče krožnice postavimo v izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema. Točko, v kateri se polmer dotika krožnice, označimo s $T(x,y)$. Na aktivni sliki zgoraj si oglej, kako pridemo do enačbe krožnice (analitična definicija).

Geometrijska definicija

Analitična definicija

Zgled

Enačba krožnice s središčem $S(0,0)$ in polmerom $3$ je:

Zgled

Dana je krožnica z enačbo $x^2+y^2=8$. a) Dano krožnico nariši. b) Ali točka $A(-\sqrt 2, \sqrt 6)$ leži na dani krožnici? c) Izračunaj neznano koordinato točke $B(2,y<0)$, tako da bo ležala na dani krožnici.

Zgled

Zapiši enačbo krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču, ki se dotika premice z enačbo $ 2x-y-5=0$.

Dana je krožnica z enačbo $x^2+y^2=8$.
a) Dano krožnico nariši.
b) Ali točka $A(-\sqrt 2, \sqrt 6)$ leži na dani krožnici?
c) Izračunaj neznano koordinato točke $B(2,y<0)$, tako da bo ležala na dani krožnici.