Premik hiperbole

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Premik hiperbole

Na aktivni sliki spodaj spreminjaj lego središča $S$ hiperbole in opazuj, kako se spremeni enačba hiperbole v premaknjeni legi glede na enačbo hiperbole v središčni legi.

Zgled

Dana je hiperbola z enačbo $ \frac{(x+3)^2}{16}-\frac{(y-4)^2}{9}=1$.
a) Zapiši koordinati središča in polosi hiperbole ter hiperbolo nariši.
b) Zapiši temeni in enačbi asimptot hiperbole.
c) Izračunaj linearno ekscentričnost ter zapiši koordinati gorišč hiperbole.
č) Izračunaj numerično ekscentričnost hiperbole.
Rešitve preveri na aktivni sliki na levi.

$\displaystyle \frac{(x+3)^2}{16}-\frac{(y-4)^2}{9}=1$

Središče: $S(-3,4)$

Polosi: $a=4,\; b=3$

Temeni hiperbole sta točki, v katerih hiperbola seka nosilko realne polosi. Koordinati temen lahko preberemo na sliki spodaj.

Če koordinati temen nista celi števili, ravnamo tako:

najprej določimo koordinati temen hiperbole v središčni legi, ki ima enaki dolžini polosi kot premaknjena hiperbola;
temeni hiperbole v središčni legi premaknemo za vektor $\vec{v}=(p,q)$.

V našem primeru je $\vec{v}=(-3,4)$, temeni hiperbole v središčni legi pa $T_1(-4,0),\ T_2(4,0)$.

Temeni hiperbole v premaknjeni legi: $T_1(-7,4),\ T_2(1,4)$

Enačbi asimptot v središčni legi: $y=\frac{3}{4}x$ in $y=-\frac{3}{4}x$

Enačbi asimptot v premaknjeni legi:

$y-4=\frac{3}{4}(x+3)$ in $y-4=-\frac{3}{4}(x+3)$

$y=\frac{3}{4}(x+3)+4$ in $y=-\frac{3}{4}(x+3)+4$

Linearna ekscentričnost ni odvisna od lege hiperbole:

$e^2=a^2+b^2$
$e^2=4^2+3^2$
$e^2=25$
$e=\pm 5 \Rightarrow e=5$

Gorišči hiperbole v središčni legi: $F_1(-5,0)$ in $F_2(5,0)$

Gorišči hiperbole s središčem v $S(-3,4)$: $F_1( -8,4),\;F_2(2,4)$

Numerična ekscentričnost ni odvisna od lege hiperbole. Odvisna je samo od linearne ekscentričnosti $e$ in dolžine realne polosi: $$\varepsilon =\frac{e}{a}=\frac{5}{4}$$

Zgled

Zapiši enačbo hiperbole s središčem v točki $S(1,-4)$, ki se dotika premice $y=-2$, njena imaginarna polos pa je dolga $1$ enoto. Zapiši še koordinati gorišč tako dobljene hiperbole. Nariši sliko.

Ker ima hiperbola središče v točki $S(1,-4)$ in se dotika premice $y=-2$, je $b=2$. Imaginarna polos je $a=1$.

Enačba hiperbole: $\displaystyle (x-1)^2-\frac{(y+4)^2}{4}=-1$

Linearna ekscentričnost: $e=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

Gorišči hiperbole: $F_1(1,-4 -\sqrt{5}),\; F_2(1,-4+\sqrt{5})$

Premik hiperbole

Izpelji enačbo hiperbole, ki jo dobiš, če hiperbolo z enačbo $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ premakneš za vektor $\vec{v}=(p,q)$.

Zgled

Zgled

Zapiši enačbo hiperbole s središčem v točki $S(1,-4)$, ki se dotika premice $y=-2$, njena imaginarna polos pa je dolga $1$ enoto. Zapiši še koordinati gorišč tako dobljene hiperbole. Nariši sliko.