Deljivost izrazov

Uvod v matematiko
Naravna in cela števila
Računanje z izrazi
Deljivost
Racionalna števila
Množice
Realna števila
Enačbe in neenačbe
Koordinatni sistem
Linearna funkcija
Statistika

Deljivost izrazov

Poglejmo, s katerimi števili in izrazi je deljiv izraz $18a^3$. Zagotovo je deljiv z vsemi delitelji števila $18$, pa tudi z vsemi delitelji izraza $a^3$: $\lbrace 1,2,3,6,9,18,a,a^2,a^3 \rbrace$.
Ker velja $18a^3=2a\cdot 9a^2$, sta delitelja tudi izraza $2a$ in $9a^2$. Če želimo zapisati vse delitelje, je treba premisliti vse možnosti in paziti, da česa ne izpustimo. Preizkusi se.

${\cal{D}}=\lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18, a, a^2, a^3, 2a, 3a, 6a, 9a,$

$\quad \qquad 18a, 2a^2, ..., 18a^2, 2a^3, 3a^3, ..., 18a^3 \rbrace$

Pravi delitelji števila so tisti delitelji, ki so različni od $1$ in izbranega števila. Podobno velja za delitelje izrazov. Ker je vsak izraz deljiv z $1$ in s samim seboj, ju imenujemo trivialna delitelja.

Zapiši prave delitelje naslednjih izrazov: $4a^2-1$, $2a^2+4a-6$. Oba izraza je treba najprej razstaviti.

Razcep: $4a^2-1=(2a-1)(2a+1$)

Pravi delitelji: $2a-1$, $2a+1$.

Razcep: $2a^2+4a-6=2(a^2+2a-3)=2(a-1)(a+3)$

Pravi delitelji: $2$, $a-1$, $2(a-1)$, $a+3$, $2(a+3)$, $(a-1)(a+3)$.

Označi tiste izraze, ki delijo izraz $3a^3-24$, pomagaj si s svinčnikom in papirjem.

$3a-6$

$a^2+2a+4$

$a+2$

$a-2$

Razcep: $3a^3-24=3(a^3-8)=3(a-2)(a^2+2a+4)$. Upoštevali smo formulo za razcep razlike kubov.

Število	$a+b=$ 30	$b-a=$ 6	$5a=$ 60	$4a-2b=$ 12
Je deljivo s $3$? (da/ne)	da	da	da	da

Deljivost izrazov

Zapiši prave delitelje naslednjih izrazov: $4a^2-1$, $2a^2+4a-6$. Oba izraza je treba najprej razstaviti.

Označi tiste izraze, ki delijo izraz $3a^3-24$, pomagaj si s svinčnikom in papirjem.

Oglejmo si nalogo, iz katere bomo izpeljali novo pravilo. Vzemimo dve števili, ki sta deljivi s $3$. Ali je s $3$ deljiva tudi njuna vsota, razlika in večkratniki? Naj bo $a=12$ in $b=18$.

Če število $a$ deli $b$ in $c$, potem deli tudi vsoto ali razliko njunih večkratnikov: $a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(mb+nc)$.