Enakost polinomov

Polinom $q(x)$ zapišemo v splošni obliki.
$$q(x)=a_nx^n+...+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$

Ker sta polinoma $p(x)$ in $q(x)$ enaka, ju enačimo.
$$x^3+7x+2=a_nx^n+...+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$

Ker $p(x)$ in $q(x)$ za vsako vrednost spremenljivke $x$ zavzameta enako vrednost, zapisana enakost velja za vsak $x$. Katero vrednost naj vstavimo za $x$, da bomo ugotovili kakšen koeficient polinoma $q(x)$?

Vstavimo $x=0$.

$2\cdot 0^3+7\cdot 0+2=a_n\cdot 0^n+...+a_3\cdot 0^3+a_2\cdot 0^2+a_1\cdot 0+a_0$

Dobimo $a_0=2$. Vrednost $a_0$ vstavimo v enakost.

$2x^3+7x+2=a_nx^n+...+a_4x^4+a_3x^3+a_2x_2+a_1x+2$

Števili $2$ se izničita. Enakost delimo z $x$.

$2x^2-6x+7=a_nx^{n-1}+...+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1$

Kaj bi naredili zdaj, da bi dobili $a_1$?

Vstavimo $x=0$.

$2\cdot 0^2+7=a_n\cdot 0^{n-1}+...+a_3\cdot 0^2+a_2\cdot 0+a_1$

Dobimo $a_1=7$. Vrednost $a_1$ vstavimo v enačbo.

$2x^2+7=a_nx^{n-1}+...+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+7$

Števili $7$ se izničita. Enakost delimo z $x$.

$2x=a_nx^{n-2}+...+a_4x^2+a_3x+a_2$

Kaj bi naredili zdaj, da bi dobili $a_2$?

Vstavimo $x=0$.

$2\cdot 0=a_n\cdot 0^{n-2}+...+a_3\cdot 0+a_2$

Dobimo $a_2=0$. Vrednost $a_2$ vstavimo v enačbo.

$2x=a_nx^{n-2}+...+a_4x^2+a_3x+0$

Enakost delimo z $x$.

$2=a_nx^{n-3}+...+a_4x+a_3$

Vstavimo $x=0$.

$2\cdot 0=a_n\cdot 0^{n-3}+...+a_4\cdot 0+a_3$

Dobimo $a_3=2$. Vrednost $a_3$ vstavimo v enačbo.

$2=a_nx^{n-3}+...+a_4x^2+2$

Enakost delimo z $x$.

$0=a_nx^{n-4}+...a_5x+a_4$

Vstavimo $x=0$.

$0=a_nx^{n-4}+...a_5x+a_4$

Dobimo $a_4=0$.

Če bi postopek nadaljevali, bi dobili še $a_5=0, a_6=0 \ ...$

Torej smo dobili, da je polinomu $p(x)=2x^3+7x+2$ enak natanko en polinom, in sicer $q(x)=2x^3+7x+2$.

Enakost polinomov

Dana sta polinoma $p(x)=x^3-4x^2-x$ in $q(x)=x^4-6x^2+1$. Izračunajmo nekaj njunih vrednosti. Dopolni račune in ugotovi, ali spodnje tri trditve, ki se nanašajo na polinoma $p(x)$ in $q(x)$, držijo ali ne držijo.

Zgled

Naj bo $p(x)=2x^3+7x+2$. Poiščimo njemu enak polinom $q(x)$.

V zgledu smo poiskali polinomu $p(x)=2x^3+7x+2$ enak polinom. Na podoben način bi poiskali enak polinom poljubnemu polinomu. Označi, ali je trditev pravilna. Enaka polinoma imata:

Zgled

Določi števila $a$, $b$ in $c$ tako, da bosta polinoma $p(x)=4x^2+2x+6$ in $q(x)=ax^2+bx+c+1$ enaka.

Zgled

Določi števila $a$, $b$, $c$, $d$ in $e$ tako, da bosta polinoma $p(x)$ in $q(x)$ enaka.
$p(x)=7x^4-3x^2+12x+4$
$q(x)=ax^4+bx^3+(c+1)x^2+(d+2)x+e$

Zgled

Določi števila $a$, $b$ in $c$ tako, da bo polinom $p(x)=(a+b+3)x^2+(b+2a-3)x+2+c$ ničelni.

Enakost polinomov

Dana sta polinoma $p(x)=x^3-4x^2-x$ in $q(x)=x^4-6x^2+1$. Izračunajmo nekaj njunih vrednosti. Dopolni račune in ugotovi, ali spodnje tri trditve, ki se nanašajo na polinoma $p(x)$ in $q(x)$, držijo ali ne držijo.

Zgled

Naj bo $p(x)=2x^3+7x+2$. Poiščimo njemu enak polinom $q(x)$.

V zgledu smo poiskali polinomu $p(x)=2x^3+7x+2$ enak polinom. Na podoben način bi poiskali enak polinom poljubnemu polinomu. Označi, ali je trditev pravilna. Enaka polinoma imata:

Zgled

Določi števila $a$, $b$ in $c$ tako, da bosta polinoma $p(x)=4x^2+2x+6$ in $q(x)=ax^2+bx+c+1$ enaka.

Zgled

Določi števila $a$, $b$, $c$, $d$ in $e$ tako, da bosta polinoma $p(x)$ in $q(x)$ enaka. $p(x)=7x^4-3x^2+12x+4$ $q(x)=ax^4+bx^3+(c+1)x^2+(d+2)x+e$

Zgled

Določi števila $a$, $b$ in $c$ tako, da bo polinom $p(x)=(a+b+3)x^2+(b+2a-3)x+2+c$ ničelni.

Določi števila $a$, $b$, $c$, $d$ in $e$ tako, da bosta polinoma $p(x)$ in $q(x)$ enaka.
$p(x)=7x^4-3x^2+12x+4$
$q(x)=ax^4+bx^3+(c+1)x^2+(d+2)x+e$