Zgledi

Izraz faktoriziramo. Rešitev naloge sta dve družini rešitev $x_1=\frac{4k\pi}{3}$, $x_2=4k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Ali smo tako poiskali vse rešitve enačbe? Razišči na sliki, na kateri je narisan graf funkcije $f(x)=\cos x-\cos \frac{x}{2}$.

Poiskali smo vse rešitve. Ugotovimo lahko, da je družina $x_2=4k\pi$ že vsebovana v družini $x_1=\frac{4k\pi}{3}$.

Uporabimo $\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}$ in $\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos^2\frac{x}{2}$. V enačbo uvedemo novo neznanko $\cos\frac{x}{2}=t$ in rešimo kvadratno enačbo. Rešitve kvadratne enačbe nam dajo družine rešitev prvotne naloge $x_1=4k\pi$, $x_2=\frac{4\pi}{3}+4k\pi$, $x_3=-\frac{4\pi}{3}+4k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Poglejmo rešitve spet na sliki. Ali smo dobili vse rešitve?

Enačbo preuredimo v enačbo $\cos x=\cos \frac{x}{2}$ in uporabimo zvezo $\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$. Enačbo nato kvadriramo, uredimo in uvedemo novo neznanko $\cos x=t$. Rešitve kvadratne enačbe nam dajo družine rešitev $x_1=2k\pi$, $x_2=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $x_3=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Ali smo dobili vse rešitve enačbe?

Vsota nihanj je po faktorizaciji vsote kotnih funkcij nihanje $h(t)=2\sin t+2\sin (t+\frac{\pi}{3})=2\sqrt 3\sin (t+\frac{\pi}{6})$. Nihanje je v ravnovesni legi, ko je $h(t)=0$. Družina rešitev enačbe je $t=-\frac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Nalogo lahko rešimo tudi z adicijskimi izreki. Izraz $h(t)=2\sin t+2\sin (t+\frac{\pi}{3})$ preoblikujemo v $h(t)=3\sin t+\sqrt 3\cos t$. Enačba $3\sin t+\sqrt 3\cos t=0$ je homogena enačba prve stopnje, zato jo delimo s $\cos t$ in dobimo družino rešitev $t=-\frac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.