a) Enačbo najprej preoblikujemo:$$ \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$$
Od tod preberemo: $a=1$ in $b=2$

c) Numerična ekscentričnost: $ \displaystyle \varepsilon=\frac{e}{b}=\frac{\sqrt3 }{2} $

Iz enačbe $a+b=18$ izrazimo $b$: $b=18-a$

$b$ vstavimo v enačbo $e^2=b^2-a^2$:

$12^2=(18-a)^2-a^2$

Od tod izračunamo: $a=5$ in $b=13$

Enačba elipse:$$ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$

a)

$ \displaystyle \varepsilon=\frac{e}{b}$
$ \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{e}{2\sqrt 3}$

Od tod izračunamo $e= \sqrt 3$.

$e^2=b^2-a^2$
$3=12-a^2$
$a^2=9$
$a=3$

Enačba elipse: $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}=1$

b) Ko elipso zavrtimo za $90^\circ $, dobimo elipso s polosema $a=2\sqrt 3$ in $b=3$.

Enačba elipse: $\displaystyle \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$

Tudi ta elipsa ima $e=\sqrt 3$.

Gorišči elipse: $F_1(-\sqrt 3,0)$ in $F_2(\sqrt 3,0)$

Obseg pravokotnika je $20$: $4a+4b=20$

Ploščina pravokotnika je $24$: $2a\cdot 2b=24$

Rešimo sistem enačb in dobimo dve možnosti:

$a_1=3$ in $b_1=2$ ter $a_1=2$ in $b_1=3$

Enačbi elips: $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ in $\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$