Hiperbola s temeni in gorišči na ordinatni osi

V enačbo hiperbole $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ vstavimo $y=0$.
Dobimo $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}=-1$ oziroma $x^2=-a^2$, kar pa v množici realnih števil ni mogoče.
Hiperbola z enačbo  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$  abscisne osi ne seka. 

Presečišče z ordinatno osjo:

V enačbo hiperbole $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ vstavimo $x=0$.
Dobimo $\displaystyle-\frac{y^2}{b^2}=-1$ oziroma $y^2=b^2$, od koder sledi $y=\pm b$.
Presečišči hiperbole z abscisno osjo sta točki $T_1(0,-b)$ in $T_2(0,b)$. Ti točki sta temeni hiperbole.

Realna polos je daljica, ki povezuje središče z enim izmed temen hiperbole. Ker ležita temeni hiperbole z enačbo $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ na ordinatni osi, je $b$ realna polos, $a$ pa imaginarna polos.

 Po Pitagorovem izreku za $a$, $b$ in $e$ velja: $$e^2=a^2+b^2$$ 

Enačbo hiperbole $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ preoblikujmo v obliko $\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2+a^2}$.

Če izpod korena izpostavimo še $x$, dobimo $\displaystyle y=\pm\frac{b}{a} x\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}$.

Ko gre $x\rightarrow \pm\infty$, gre $\displaystyle\frac{a^2}{x^2}\rightarrow 0$.
Daleč proč od izhodišča se krivulja obnaša podobno kot premici  $\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}x$. To sta asimptoti hiperbole.

S slike lahko razberemo, da je razlika razdalj $r_1-r_2$ enaka $2b$. Če točka $T$ sovpada z drugim temenom, je $r_2-r_1=2b$. $$|r_1-r_2|=2b$$