1. Talesov izrek

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

1. Talesov izrek

Naslednjo sliko preriši v zvezek. Opiši medsebojno lego premic $p_{1}$ in $p_{2}$ ter medsebojno lego premic $s$ in $r$. Vključi „dolžine odsekov“ in izračunaj neznano dolžino $b_2$. Pojasni postopek računanja.

Premici $r$ in $s$ se sekata v točki $S$. Premici $p_1$ in $p_2$ sta vzporedni. Vzporednici sekata premici $r$ in $s$. Presečišča premic so oglišča dveh podobnih trikotnikov, trikotnika $SAB$ in trikotnika $SA'B'$.

$\triangle SAB \sim \triangle SA'B'$

Neznano dolžino $b_2$ lahko izračunamo z zapisom sorazmerja istoležnih stranic v podobnih trikotnikih. Daljici $a_1$ in $a_2$
sta istoležni, saj ležita v podobnih trikotnikih nasproti kotu $\beta$. Daljici $b_1$ in $b_2$ sta istoležni, saj ležita v podobnih trikotnikih
nasproti kotu $\alpha$. Zato je $a_2 : a_1 = b_2 : b_1$.

Za $a_2 = 33\;\rm{e}$, $a_1 = 22\;\rm{e}$ in $b_1 = 20\;\rm{e}$ je:

$a_{2}:a_{1}$	$=$	$b_{2}:b_{1}$
$33\;\rm{e}:22\;\rm{e}$	$=$	$b_{2}:20\;\rm{e}$
$22\;\rm{e} \cdot$ $b_{2}$	$=$	$33\;\rm{e} \cdot 20\;\rm{e}$
$b_{2}$	$=$	$\frac{33\;\rm{e} \;\cdot \;20\;\rm{e}}{22\;\rm{e}}$
$b_{2}$	$=$	$30\;\rm{e}$

Zgled

V zvezek nariši poltraka $p$ in $r$ s skupnim izhodiščem $S$ ter kotom med poltrakoma $60^{\circ}$. Na poltraku $p$ označi točki $A$ in $A'$ tako, da bo $|SA| = 2\;\rm{cm}$ in $|SA'|=4,5\;\rm{cm}$. Na poltraku $r$ označi točko $B$ tako, da bo $|SB| = 3\;\rm{cm}$ in točko $B'$ tako, da bo trikotnik $SAB$ podoben trikotniku $SA'B'$. Izračunaj dolžino daljice $SB'$.

Daljici $SA$ in $SA'$ sta v enakem sorazmerju kot daljici $SB$ in $SB'$, saj sta trikotnika $SAB$ in $SA'B'$ podobna.
Zapišemo sorazmerje:

$\|SA'\| : \|SA\|$	$=$	$\|SB'\| : \|SB\|$
$4,5\;\rm{cm}:2\;\rm{cm}$	$=$	$\|SB'\|:3\;\rm{cm}$
$2\;\rm{cm} \cdot$ $\|SB'\|$	$=$	$4,5\;\rm{cm} \cdot 3\;\rm{cm}$
$\|SB'\|$	$=$	$\frac{4,5\;\rm{cm} \; \cdot \; 3\;\rm{cm}}{2\;\rm{cm}}$
$\|SB'\|$	$=$	$6,75\;\rm{cm}$

Če vzporednici sekata poltraka s skupnim vrhom, nastaneta podobna trikotnika. Razmerje dolžin istoležnih daljic (stranic trikotnikov) na enem poltraku je enako razmerju dolžin istoležnih daljic (stranic trikotnikov) na drugem poltraku. Dolžine daljic na posameznih poltrakih imenujemo tudi odseki.

Zgled

V danih podobnih trikotnikih izračunaj dolžini odsekov $x$ in $y$.

Poznamo dolžini odsekov na enem kraku kota in računamo dolžini odsekov $x$ in $y$ na drugem kraku kota, kjer poznamo vsoto dolžin neznanih odsekov.

$a_{2}=6\;\rm{cm}$, $a_{1}=3,5\;\rm{cm}$, $b_{2}=3,6\;\rm{cm}$ in $b_{1}=x$.

$ a_{2}:a_{1}=b_{2}:b_{1}$

$ 6\;\rm{cm}:3,5\;\rm{cm}=3,6\;\rm{cm}:$ $x$

$6\;\rm{cm} \cdot$ $x=3,5\;\rm{cm} \cdot 3,6\;\rm{cm}$

$x=\frac{3,5\;\rm{cm} \;\cdot \;3,6\;\rm{cm}}{6\;\rm{cm}}$

$x=\frac{35 \;\cdot\; 36}{10\;\cdot\;10\;\cdot\;6}\rm{cm}$

$x=\frac{7\;\cdot\;3}{10}\rm{cm}$

$x=\frac{21}{10}\rm{cm}$

$x=2,1\;\rm{cm}$

Dolžina odseka $y=3,6\;\rm{cm}-2,1\;\rm{cm}=1,5\;\rm{cm.}$

Zgled

Utemelji, zakaj sta premici $p_{1}$ in $p_{2}$ vzporedni.

Premici sta vzporedni, če sta odseka na krakih kota v enakem razmerju.

Razmerje odsekov na prvem kraku kota:

$ a_{3}:a_{1}=8,4\;\rm{cm}:4,8\;\rm{cm}=\frac{ 8,4\;\rm{cm}}{4,8\;\rm{cm}}=$

$ =\frac{ 84}{48}=\frac{ 21}{12}=\frac{ 7}{4}=1\frac{ 3}{4}=1,75$.

Razmerje odsekov na drugem kraku kota:

$ b_{3}:b_{1}=4,9\;\rm{cm}:2,8\;\rm{cm}=\frac{ 4,9\;\rm{cm}}{2,8\;\rm{cm}}=$

$=\frac{ 49}{28} =\frac{ 7}{4}=1\frac{ 3}{4}=1,75$.

$ a_{3}:a_{1}=b_{3}:b_{1}$

Ker je razmerje dolžin odsekov, ki jih na krakih kota naredita vzporednici, enako, sta premici $p_{1}$ in $p_{2}$ vzporedni.