Računanje prostornine prizme

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Zgled

Matej v $10\ \rm{cm}$ visoko posodo nalije $6\ \rm{cl}$ sirupa za mešanje. Sirup seže $2\ \rm{cm}$ visoko. Koliko vode mora doliti Matej, da bo posoda polna do $2\ \rm{cm}$ pod robom? Pomagaj si s prikazom.

Matej mora doliti 1,8 $\rm{dl}$ vode.

Ploščina osnovne ploskve:
$O=V:v=60\ \rm{cm}^3:2\ \rm{cm}=30\ \rm{cm}^2$
Količina vode:
$V=O\cdot v=30\ \rm{cm}^2 \cdot 6\ \rm{cm}=180\ \rm{cm}^3=1,8\ \rm{dl}$

Zgled

Prostornina prizme, ki ima za osnovno ploskev pravokotni trikotnik, je $216\ \rm{cm}^3$. Hipotenuza trikotnika je dolga $10\ \rm{cm}$, ena kateta je dolga $8\ \rm{cm}$. Izračunaj višino prizme.

Dolžino druge katete izračunamo s Pitagorovim izrekom. Ploščino trikotnika izračunamo s formulo $\frac{a\cdot b}{2}$, kjer z $a$ in $b$ označimo dolžini katet trikotnika.

Prizma
$V=216\ \rm{cm}^3$
$c=10\ \rm{cm}$
$\underline{a=8\ \rm{cm}}$
$v=?$

$b^2=c^2-a^2$
$b^2=(10\ \rm{cm})^2-(8\ \rm{cm})^2$
$b=\sqrt{36\ \rm{cm}^2}$
$b=6\ \rm{cm}$

$O=\frac{a\cdot b}{2}$
$O=\frac{8\ \rm{cm}\cdot 6\ \rm{cm}}{2}$
$O=24\ \rm{cm}^2$

$V=O\cdot v$
$v=V:O$
$v=216\ \rm{cm}^3: 24\ \rm{cm}^2$

$v=9\ \rm{cm}$

Zgled

Na prvi strani si premišljeval, ali lahko v kozarec nalijemo $2\ \rm{dl}$ soka. Kozarec je pravilna osemstrana prizma z dolžino osnovnega roba $2\ \rm{cm}$ in višino prizme $12\ \rm{cm}$.

Osnovna ploskev je pravilni osemkotnik, ki ga lahko razdelimo na več likov, treh različnih oblik. Znamo izračunati ploščine posameznih likov.

Kvadrat $p_1$
$p_1=2\ \rm{cm}\cdot 2\ \rm{cm}$
$p_1=4\ \rm{cm}^2$

Pravokotnik $p_2$
Pitagorov izrek
$x^2+x^2=(2\ \rm{cm})^2$
$2x^2=4\ \rm{cm}^2$
$x^2=2\ \rm{cm}^2$
$x=\sqrt2\ \rm{cm}$

$p_2=2\ \rm{cm}\cdot \sqrt2\ \rm{cm}$
$p_2\doteq 2\ \rm{cm}\cdot 1,41\ \rm{cm}$
$p_2\doteq 2,82\ \rm{cm}^2$

Lik $p_3$ je polovica kvadrata z diagonalo, dolgo $2\ \rm{cm}$. Ploščino kvadrata lahko izračunamo tudi z obrazcem $p=\frac{d\cdot d}{2}$
$p_3=(\frac{2\ \rm{cm} \cdot 2\ \rm{cm}}{2}):2$
$p_3=1\ \rm{cm}^2$

$O=p_1+4\cdot p_2+4\cdot p_3$
$O\doteq 4\ \rm{cm}^2+4\cdot 2,82\ \rm{cm}^2+4\cdot 1\ \rm{cm}^2$
$O\doteq 19,28\ \rm{cm}^2$

$V=O\cdot v$
$V\doteq 19,28\ \rm{cm}^2\cdot 12\ \rm{cm}$
$V\doteq 231,36\ \rm{cm}^3$
$V\doteq 2,3\ \rm{dl}$

V kozarec lahko nalijemo $2\ \rm{dl}$ soka.

Zgled

Delavci so izkopali $30\ \rm{m}$ dolg jarek (glej skico jarka). Koliko $\rm{m}^3$ zemlje so izkopali?

Jarek ima obliko prizme, v kateri je osnovna ploskev enakokraki trapez.

Trapez
$a=2\ \rm{m}$
$c=3\ \rm{m}$
$\underline{b=d=1,3\ \rm{m}}$
$O=?$

$x=\frac{3\ \rm{m}-2\ \rm{m}}{2}$
$x=0,5\ \rm{m}$

$v^2=(1,3\ \rm{m})^2-(0,5\ \rm{m})^2$
$v^2=1,69\ \rm{m}^2-0,25\ \rm{m}^2$
$v=\sqrt{1,44\ \rm{m}^2}$

$v=1,2\ \rm{m}$

$O=\frac{a+c}{2}\cdot v$
$O=\frac{2\ \rm{m}+3\ \rm{m}}{2}\cdot 1,2\ \rm{m}$
$O=\frac{5\ \rm{m}}{2}\cdot 1,2\ \rm{m}$

$O=3\ \rm{m}^2$

Prizma
$O=3\ \rm{m}^2$
$\underline{v=30\ \rm{m}}$
$V=?$

$V=O\cdot v$
$V=3\ \rm{m}^2\cdot 30\ \rm{m}$

$V=90\ \rm{m}^3$

Delavci so izkopali $90\ \rm{m}^3$ zemlje.