Graf linearne funkcije

Izberi tri poljubne točke na grafu in pokaži, da so kolinearne. Najlažje se o tem prepričaš tako, da izračunaš ploščino trikotnika, ki ga oblikujejo. Če je ta enaka $0$, točke ležijo na isti premici. Uporabi poznani obrazec za računanje ploščine trikotnika, ki je podan s tremi točkami.

Naj bo $f(x)=kx+n$ poljubna linearna funkcija. Vzemimo tri poljubne  različne $x$ in izračunajmo njihove funkcijske vrednosti. Zapišimo pripadajoče točke, ki zagotovo ležijo na grafu funkcije $f$:

$$y_1=f(x_1)=kx_1+n \Rightarrow A(x_1,y_1)$$

$$y_2=f(x_2)=kx_2+n \Rightarrow A(x_2,y_2)$$

$$y_3=f(x_3)=kx_3+n \Rightarrow A(x_3,y_3)$$

Izračunajmo ploščino trikotnika z oglišči v $A$, $B$ in $C$ po znani formuli:

$$S=\frac{1}{2}\cdot |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$$

Z nekaj truda pokažemo, da se po odpravi oklepajev vsi členi pokrajšajo in je zato ploščina trikotnika $ABC$ enaka $0$. Torej so točke $A$, $B$ in $C$ kolinearne in je graf premica.