Površina sestavljenih teles

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Poimenuj narisani telesi. Točko $P$ prestavi tako, da dobiš sestavljeno telo v obliki hiše. Ko boš dovolj natančen, se izpišejo podatki za telesi. V zvezek nariši skico telesa. V zvezek nariši tudi mrežo telesa. Kako bi izračunal površino telesa?

S pravilno $4$-strano prizmo in pravilno $4$-strano piramido s skladnima osnovnima ploskvama oblikujemo sestavljeno telo.

Mrežo sestavljenega telesa tvorijo štirje skladni enakokraki trikotniki, štirje skladni pravokotniki in kvadrat.

Površina telesa je enaka ploščini mreže telesa. Površino telesa izračunamo tako, da seštejemo ploščine mejnih ploskev telesa. S pomočjo spodnjega prikaza razišči, kako izračunamo površino sestavljenega telesa.

Osnovna ploskev $O$	Plašč prizme $\mathcal{pl}_1$	Plašč piramide $\mathcal{pl}_2$
$O=a^2$	$\mathcal{pl}_1=4ab$	$\mathcal{pl}_2=4\cdot\frac{av_1}{2}$
$O=(4\;\rm{m})^2$	$\mathcal{pl}_1=4\cdot4\;\rm{m}\cdot2,5\;\rm{m}$	$\mathcal{pl}_2=2av_1$
$O=16\;\rm{m}^2$	$\mathcal{pl}_1=40\;\rm{m}^2$	$\mathcal{pl}_2=2\cdot4\;\rm{m}\cdot2,1\;\rm{m}$
		$\mathcal{pl}_2=16,8\;\rm{m}^2$

Stransko višino piramide izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka.

$v_1^2$	$=$	$s^2-(\frac{a}{2})^2$
$v_1^2$	$=$	$(2,9\;\rm{m})^2-(2\;\rm{m})^2$
$v_1^2$	$=$	$8,41\;\rm{m}^2-4\;\rm{m}^2$
$v_1^2$	$=$	$4,41\;\rm{m}^2$
$v_1$	$=$	$\sqrt{4,41\;\rm{m}^2}$
$v_1$	$=$	$2,1\;\rm{m}$

Površina sestavljenega telesa:

$ P= O+ \mathcal{pl}_1+ \mathcal{pl}_2$
$ P=16\;\rm{m}^2+40\;\rm{m}^2+16,8\;\rm{m}^2=72,8\;\rm{m}^2$

Površino sestavljenih teles izračunamo kot vsoto ploščin vseh mejnih ploskev, ki telo omejujejo.

Zgled

Izračunaj površino sestavljenega telesa sestavljenega iz dveh kvadrov. Podatke najdeš pod gumbom.

Površino sestavljenega telesa lahko izračunamo na več načinov s seštevanjem ploščin pravokotnikov. Sestavljeno telo je pokončna prizma. Uporabimo formulo za izračun površine pokončne prizme.

$P=2O+pl$

$p_1$	$=$	$3\;\rm{cm}\cdot2\;\rm{cm}$
$p_1$	$=$	$6\;\rm{cm}^2$
$p_2$	$=$	$5\;\rm{cm}\cdot3\;\rm{cm}$
$p_2$	$=$	$15\;\rm{cm}^2$
$O$	$=$	$p_1+p_2$
$O$	$=$	$6\;\rm{cm}^2+15\;\rm{cm}^2$
$O$	$=$	$21\;\rm{cm}^2$


$pl$	$=$	$160\;\rm{cm}^2$
$pl$	$=$	$\rm{o}\cdot\rm{v}$
$pl$	$=$	$20\;\rm{cm}\cdot8\;\rm{cm}$

$P=2O+pl$

$P=2\cdot21\;\rm{cm}^2+160\;\rm{cm}^2$

$P=202\;\rm{cm}^2$

Zgled

Telo A dobimo iz kocke z robom $8\;\rm{cm}$, ki ji izdolbemo pravilno $4$-strano piramido. Oglišča osnovne ploskve piramide so razpolovišča robov kocke. Vrh piramide je v presečišču diagonal spodnje osnovne ploskve kocke. Telo B je sestavljeno iz enake kocke kot pri telesu A, na katero smo postavili enako pravilno $4$-strano piramido, kot v telesu A. Izberi pravilno izjavo.

A

B

Telo A ima večjo površino kot telo B.

Telo A ima enako površino kot telo B.

Telo A ima manjšo površino kot telo B.

Napačno.

Pravilno. Obe telesi sta omejeni s $5$ skladnimi kvadrati, štirimi skladnimi enakokrakimi trikotniki in štirimi skladnimi pravokotnimi trikotniki.

Napačno.

a) Izračunaj površini teles A in B.
b) Površino telesa izrazi z dolžino roba $a$.

Površini obeh teles sta enaki. Izračunamo površino telesa B. Ob sliki opiši postopek računanja površine.

Dolžino stranice manjšega kvadrata $a_1$ izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka.

$a_1^2$	$=$	$(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2$	Stranico $a_1$ lahko izračunamo tudi s pomočjo diagonale večjega kvadrata. $a_1=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}$ $a_1=\frac{8\;\rm{cm}\sqrt2}{2}=4\sqrt2\;\rm{cm}$
$a_1^2$	$=$	$(\frac{8\;\rm{cm}}{2})^2+(\frac{8\;\rm{cm}}{2})^2$
$a_1^2$	$=$	$16\;\rm{cm}^2+16\;\rm{cm}^2$
$a_1^2$	$=$	$32\;\rm{cm}^2$
$a_1$	$=$	$\sqrt{32\;\rm{cm}^2}$
$a_1$	$=$	$\sqrt{16 \cdot 2\;\rm{cm}^2}$
$a_1$	$=$	$4\sqrt2\;\rm{cm}$

Ploščina kvadrata	Ploščina skladnih pravokotnih trikotnikov	Plašč piramide $\mathcal{pl}$
$\scriptsize p_{\square}=a^2$	$\scriptsize p_1=p_{\square}-p_{\tiny \square}$	$\scriptsize \mathcal{pl}=4\cdot\frac{a_1v_1}{2}$
$\scriptsize p_{\square}=(8\;\rm{cm})^2$	$\scriptsize p_1=a^2-a_1^2$	$\scriptsize \mathcal{pl}=2a_1v_1$
$\scriptsize p_{\square}=64\;\rm{cm}^2$	$\scriptsize p_1=(8\;\rm{cm})^2-(4\sqrt2\;\rm{cm})^2$	$\scriptsize \mathcal{pl}=2\cdot4\sqrt2\;\rm{cm}\cdot6\sqrt2\;\rm{cm}$
	$\scriptsize p_1=64\;\rm{cm}^2-32\;\rm{cm}^2$	$\scriptsize \mathcal{pl}=48\sqrt{4}\;\rm{cm}^2$
	$\small p_1=32\;\rm{cm}^2$	$\scriptsize \mathcal{pl}=96\;\rm{cm}^2$

Dolžino stranske višine $v_1$ izračunamo s Pitagorovim izrekom.

$v_1^2$	$=$	$a^2+(\frac{a_1}{2})^2$
$v_1^2$	$=$	$(8\;\rm{cm})^2+(2\sqrt2\;\rm{cm})^2$
$v_1^2$	$=$	$64\;\rm{cm}^2+8\;\rm{cm}^2$
$v_1^2$	$=$	$72\;\rm{cm}^2$
$v_1$	$=$	$\sqrt{72\;\rm{cm}^2}$
$v_1$	$=$	$6\sqrt2\;\rm{cm}$

Površina sestavljenega telesa:

$ P= 5p_{\square}+ p_1+ \mathcal{pl}$
$ P=5\cdot64\;\rm{cm}^2+32\;\rm{cm}^2+96\;\rm{cm}^2=448\;\rm{cm}^2$

Vsako količino telesa izrazimo z robom $a$.

Ploščina kvadrata	Ploščina skladnih pravokotnih trikotnikov	Plašč piramide $\mathcal{pl}$
$\small p_{\square}=a^2$	$\small p_1=p_{\square}-p_{\tiny \square}$	$\small \mathcal{pl}=4\cdot\frac{a_1v_1}{2}$
	$\small p_1=a^2-a_1^2$	$\small \mathcal{pl}=2a_1v_1$
	$\small p_1=a^2-(\frac{a\sqrt2}{2})^2$	$\small \mathcal{pl}=2 \cdot \frac{a \sqrt2}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{2} a}{4}$
	$\small p_1=a^2-\frac{2a^2}{4}$	$\small \mathcal{pl}=\frac{3a^2}{2}$
	$\small p_1=\frac{a^2}{2}$

Stranico manjšega kvadrata $a_1$ in stransko višino piramide $v_1$, izrazimo z robom $a$.

$v_1^2$	$=$	$a^2+(\frac{a_1}{2})^2$	$a_1=\frac{a\sqrt2}{2}$
$v_1^2$	$=$	$a^2+(\frac{a \sqrt2}{2 \cdot 2})^2$
$v_1^2$	$=$	$a^2+\frac{2a^2}{16}$
$v_1^2$	$=$	$a^2+\frac{a^2}{8}$
$v_1$	$=$	$\sqrt{\frac{9a^2}{8}}$
$v_1$	$=$	$\frac{3\sqrt2 a}{4}$

$ P(a)= 5p_{\square}+ p_1+ \mathcal{pl}=5a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}$
$P(a)= 5a^2+\frac{4a^2}{2}=5a^2+2a^2$
$\large P(a)=7a^2$

Površino telesa smo zapisali v odvisnosti od dolžine roba telesa, kar je funkcijski predpis $P(a)$.

Funkcijski predpis za dano telo je $P(a)=7a^2$. To pomeni, da je površina telesa $7$-krat večja od osnovne ploskve kocke.

Preverimo za naš primer, ko $a=8$.

$P(a)=7a^2$
$P(8)=7 \cdot 8^2=7 \cdot 64$
$P(8)=448$

Zgled

Izračunaj površino telesa, ki ga sestavljata pravilni $4\mbox{-}$strani piramidi. Več podatkov najdeš pod gumbom Namig.
$a=12\;\rm{cm}$
$h=v_1+v_2=28\;\rm{cm}$
$v_1:v_2=2:5$

$a=12\;\rm{cm}$
$h=v_1+v_2=28\;\rm{cm}$ $\underline{v_1:v_2=2:5}$
$P=\;\rm{?}$

Površino sestavljenega telesa sestavljta dva plašča pravilnih $4\mbox{-}$stranih piramid.

$P=pl_1+pl_2$

Višini piramid dobimo s pomočjo uvedbe nove spremenljivke in reševanjem enačbe.

$v_1=2t$
$v_2=5t$

$v_1+v_2$	$=$	$28\;\rm{cm}$
$2t+5t$	$=$	$28\;\rm{cm}$
$7t$	$=$	$28\;\rm{cm}$
$t$	$=$	$4\;\rm{cm}$

$v_1=2\cdot4\;\rm{cm}=8\;\rm{cm}$
$v_2=5\cdot4\;\rm{cm}=20\;\rm{cm}$

Stransko višino piramide izračunamo s Pitagorovim izrekom.

$v_{s1}^2$	$=$	$v_1^2+(\frac{a}{2})^2$
$v_{s1}^2$	$=$	$(8\;\rm{cm})^2+(\frac{12\;\rm{cm}}{2})^2$
$v_{s1}^2$	$=$	$64\;\rm{cm}^2+(6\;\rm{cm})^2$
$v_{s1}^2$	$=$	$64\;\rm{cm}^2+36\;\rm{cm}^2$
$v_{s1}^2$	$=$	$100\;\rm{cm}^2$
$v_{s1}$	$=$	$\sqrt{100\;\rm{cm}^2}$
$v_{s1}$	$=$	$10\;\rm{cm}$

Plašč zgornje piramide:

$ pl_1=4\cdot\frac{av_{s1}}{2}=2av_{s1}=2\cdot 12\;\rm{cm}\cdot 10\;\rm{cm}= 240\;\rm{cm}^2$

Tudi stransko višino druge piramide izračunamo s Pitagorovim izrekom.

$v_{s2}^2$	$=$	$v_2^2+(\frac{a}{2})^2$
$v_{s2}^2$	$=$	$(20\;\rm{cm})^2+(\frac{12\;\rm{cm}}{2})^2$
$v_{s2}^2$	$=$	$400\;\rm{cm}^2+(6\;\rm{cm})^2$
$v_{s2}^2$	$=$	$400\;\rm{cm}^2+36\;\rm{cm}^2$
$v_{s2}^2$	$=$	$436\;\rm{cm}^2$
$v_{s2}$	$=$	$\sqrt{436\;\rm{cm}^2}$
$v_{s2}$	$\doteq$	$20,88\;\rm{cm}$

Plašč spodnje piramide:

$ pl_2=4\cdot\frac{av_{s2}}{2}=2av_{s2}=2\cdot 12\,\rm{cm}\cdot 20,88\,\rm{cm}= 501,12\,\rm{cm}^2$

$P=pl_1+pl_2=240\;\rm{cm}^2+501,12\;\rm{cm}^2=741,12\;\rm{cm}^2$

Površina sestavljenega telesa je $741,12\;\rm{cm}^2\!.$

Površina sestavljenih teles

Zgled

Izračunaj površino sestavljenega telesa sestavljenega iz dveh kvadrov. Podatke najdeš pod gumbom.

Zgled

a) Izračunaj površini teles A in B. b) Površino telesa izrazi z dolžino roba $a$.

Zgled

Izračunaj površino telesa, ki ga sestavljata pravilni $4\mbox{-}$strani piramidi. Več podatkov najdeš pod gumbom Namig. $a=12\;\rm{cm}$ $h=v_1+v_2=28\;\rm{cm}$ $v_1:v_2=2:5$

a) Izračunaj površini teles A in B.
b) Površino telesa izrazi z dolžino roba $a$.

Izračunaj površino telesa, ki ga sestavljata pravilni $4\mbox{-}$strani piramidi. Več podatkov najdeš pod gumbom Namig.
$a=12\;\rm{cm}$
$h=v_1+v_2=28\;\rm{cm}$
$v_1:v_2=2:5$