Naloge

Telo, ki ga dobimo, če osmercu v ogliščih odrežemo enakorobe $4$-strane piramide, se imenuje prisekani osmerec. Ima $14$ ploskev ($8$ pravilnih šestkotnikov in $6$ kvadratov), $36$ robov in $24$ oglišč.

Prisekani osmerec lahko sestaviš iz papirja, kot je prikazano na modelih spodaj.

Oglej si videoposnetek in razmisli, kako bi izračunal prostornino ter površino novonastalega telesa.

Formula za prostornino osmerca je $V=\frac{a^3\sqrt2}{3}$.
Prostornina osmerca z robom $3a$:
$V_{\rm{O}}=\frac{(3a)^3\sqrt2}{3}=\frac{27a^3\sqrt2}{3}=9\sqrt2a^3$

Formula za prostornino enakorobe $4$-strane piramide je $V=\frac{Ov}{3}$. Osnovno ploskev in višino izrazimo z robom $a$.
$O=a^2$ in $v=\frac{a\sqrt2}{2}$
Prostornina enakorobe $4$-strane pramide z robom $a$:
$V_{\rm{P}}=\frac{Ov}{3}=\frac{a^2\;\cdot\;a\sqrt2}{3\;\cdot\;2}=\frac{a^3\sqrt2}{6}$

Prostornino prisekanega osmerca izračunamo tako, da od prostornine osmerca odštejemo $6$ prostornin enakorobih $4$-stranih piramid.

$V=V_{\rm{O}}- 6\cdot V_{\rm{P}}=9 \sqrt2 a^3-6 \cdot \frac{a^3\sqrt2 }{6}$
$V=9 \sqrt2 a^3-\sqrt2 a^3=8 \sqrt2 a^3$
$V=8\sqrt2\cdot(9\;\rm{cm})^3=8\sqrt2 \cdot729\;\rm{cm}^3=5\,832\sqrt2\;\rm{cm}^3$
$V\doteq 8\,223,12\;\rm{cm}^3\!,$ če $\sqrt2 \doteq 1,41$

Prisekani osmerec omejuje $8$ pravilnih šestkotnikov in $6$ kvadratov. Vsi robovi so enako dolgi. Površino izračunamo kot vsoto ploščin teh ploskev.

$P=8\cdot p_{6} + 6 \cdot p_{\square}=8\cdot 6 \cdot \frac{a^2\sqrt3}{4} + 6 \cdot a^2$
$P=12\sqrt3 a^2+6a^2=6a^2\cdot(2\sqrt3+1)$
$P\doteq6\cdot(9\;\rm{cm})^2\cdot(2\cdot1,73+1)$, če $\sqrt3 \doteq 1,73$
$P\doteq 6\cdot 81\;\rm{cm}^2\cdot 4,46$
$P\doteq 2\,167,56\;\rm{cm}^2$

Izračunaj površino pravilnega osmerca (oktaedra) s stranico $a=4\;\rm{cm.}$

Iz papirja sestavi model telesa, ki ga dobiš, če oktaedru z robom $9\;\rm{cm}$ v ogliščih odrežeš enakorobe $4$-strane piramide z dolžino roba $3\;\rm{cm.}$ Izračunaj prostornino in površino novonastalega telesa.