Korenske funkcije s sodim korenskim eksponentom

Vemo že, da potenčna funkcija $f(x) = x^2$ ni injektivna na $\mathbb{R}$.
a) Katero največjo podmnožico $\mathbb{R}$ lahko vzameš za $D_f$, da bo funkcija $f: D_f \longrightarrow [0,\infty)$; $f(x)=x^2$ bijektivna? Ali je rešitev ena sama?
b) Na tako zoženem $D_f$ določi predpis inverzne funkcije $f^{-1}$.

c) S pomikanjem točke $A$ po grafu funkcije $f(x)=x^2$ prezrcali točke grafa $f$ čez premico $y=x$ v graf funkcije $f^{-1}$.

č) Zapiši predpis inverzne funkcije $f^{-1}$.

d) Presodi, ali ima funkcija $f: [0, \infty) \longrightarrow [0, \infty)$ s predpisom $ f(x)=x^{n}$, kjer je $n$ poljubno sodo naravno število, inverzno funkcijo. Pot razmišljanja opiši. Če obstaja, zapiši funkcijo $f^{-1}$.

Korenska funkcija s sodim korenskim eksponentom $n=2k, \, ( k \in \mathbb{N}$) $f: [0, \infty) \longrightarrow [0, \infty)$ s predpisom $ f(x) = \sqrt[n]{x}$ je inverzna funkcija k funkciji $g: [0, \infty) \longrightarrow [0, \infty)$ s predpisom $g(x) =x^{n}$.

V aktivni sliki opazuj skupne lastnosti grafov funkcij $\sqrt{x},\, \sqrt[4]{x}$ in $\sqrt[6]{x}$ ter dopolni spodnjo trditev.

Skupne lastnosti korenskih funkcij $f(x) = \sqrt[2k]{x}$:

- $D_f=Z_f=[$ 0 , $\infty)$,
- naraščajo na $[$ 0 , $\infty)$ in so navzdol omejene,
- na grafih ležita točki: $A(1,$ 1 $)$ in $B($ 0 $,0)$.

<NAZAJ

>NAPREJ445/703