Logaritemska funkcija in graf

Širjenje virusa

Zaradi naravne nesreče je iz skrbno varovanega laboratorija ušel nevaren virus, pri čemer se je takoj na začetku razširil čez območje velikosti $3\, {\rm km^2}$. V naslednjih dneh se je velikost območja z okuženimi prebivalci vsak dan podvojila.

Slike virusov (od leve proti desni so: HIV, SARS-corona in H5N1)

a) Zapiši predpis funkcije, ki opisuje velikost okuženega območja v odvisnosti od časa. Nariši graf funkcije širjenja okužbe za prvih $10$ dni. Kako veliko je bilo območje okužbe po $1$ tednu?

b) Postavimo si obratno vprašanje, ki je v primerih takih epidemij zelo aktualno in vpliva na strategije reševanja problema. V kolikšnem času bo, ob nespremenjeni hitrosti širjenja virusa, okuženo območje veliko kot Slovenija? Izpelji predpis, ki bo opisal potreben čas v odvisnosti od velikosti območja okužbe.

Ker se velikost okuženega območja veča eksponentno s časom, to narašča vedno hitreje. Obratno to pomeni, da bo za enak faktor povečanja okuženega območja treba vedno manj časa. To dogajanje nam bo predstavil graf logaritemske funkcije, ki ga bomo spoznali v nadaljevanju.

Ponovitev

1. Lastnosti eksponentne funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$; $f: x\mapsto a^x$

S sošolcem odgovorita na spodnja vprašanja.
a) Za katere osnove $a$ je definirana eksponentna funkcija?
b) Kaj je definicijsko območje?
c) Kaj je zaloga funkcijskih vrednosti?
č) Ali je eksponentna funkcija bijektivna?

Odgovore zapiši v zvezek.

2. Na sliki so grafi štirih eksponentnih funkcij.

Skozi točko $T(-1, 2)$ poteka graf funkcije $f(x)=$( 1/2 )$^x$. Ker je osnova $a$ pozitivna in manjša od $1$, je funkcija padajoča.
Funkciji, ki imata osnovo večjo od $1$, sta naraščajoči.
Grafa funkcij $f(x)=2^x$ ( zelene barve) in $g(x)=\left( \frac{1}{2} \right)$ ( modre barve) sta zrcalna glede na ordinatno os.