Razdalja med točko in ravnino

Naj bo $A(x_1,y_1,z_1)$ poljubna točka ravnine $ax+by+cz-e=0$. Razdalja točke $T(x_0,y_0,z_0)$ od ravnine je enaka absolutni vrednosti projekcije vektorja $\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}$ na vektor $\overset{\rightharpoonup}{n}$.

Iz enakosti $\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}\cdot \overset{\rightharpoonup}{n}=|\overset{\rightharpoonup}{n}| {\rm pr}_{\overset{\rightharpoonup}{n}}\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}$ izhaja ${\rm pr}_{\overset{\rightharpoonup}{n}}\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}=\frac{\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}\cdot \overset{\rightharpoonup}{n}}{|\overset{\rightharpoonup}{n}|}$. Razdalja točke $T$ od ravnine $\Sigma$ je enaka: $$d=\frac{|\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}\cdot \overset{\rightharpoonup}{n}|}{|\overset{\rightharpoonup}{n}|}$$ Izrazimo še skalarni produkt s komponentami vektorjev: $$\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}\cdot\overset{\rightharpoonup}{n}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)(a,b,c)=$$ $$=ax_0+by_0+cz_0-(ax_1+by_1+cz_1)$$ Ker leži točka $A(x_1,y_1,z_1)$ na dani ravnini, je $ax_1+by_1+cz_1=e$ in zato: $$\overset{\Large\rightharpoonup}{AT}\cdot\overset{\rightharpoonup}{n}=ax_0+by_0+cz_0-e$$ Torej je:  $$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Razdaljo po navadi označimo z $d$, zato je zadnji koeficient v enačbi ravnine označen z $e$ in ne z $d$.

$$d=\frac{|2\cdot 3-3\cdot (-4)+5\cdot 7-10|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+5^2}}=\frac{43}{\sqrt{38}}$$

Vse točke na premici so enako oddaljene od ravnine.